* This paper describes several classes of choice problems in which preferences systematically violate the axioms of expected utility theory. So we propose alternative account of choice under risk.
2. Critique
* (x,p) (0,1-p)
* Expectation: U(x1,p1; ... ;xn,pn)=p1u(x1)+...+pnu(xn). 여기서 U는 전체 Utility, u는 각 경우의 utility.
* Asset Integration: U(w+x1,p1;...;w+xn,pn)>u(w). 투자금액은 기대치보다 낮아야 한다.
* Risk Aversion: u''<0. 사람들은 확실한 (x)의 경우를 risky prospect의 expected value x보다 선호한다. utility function은 concave하다.
1) Certainity, Probability, and Possilbility
* Certainity Effect
- A: (2500,0.33;2400,0.66;0,0.01)과 B: (2400,1)중 B를 선택
- C: (2500,0.33;0,0.67)과 D: (2400,0.34,0,0.66) 중 C를 선택
-> 기대효용이론에 위배되는 결과
- A: (4000,0.8)과 B: (3000) 중 B를 선택
- C: (4000,0.2)과 D: (3000,0.25)중 C를 선택
-> C는 (A,0.25)라고 쓸 수 있고 D는 (B,0.25)라고 쓸 수 있는데 이런 경우 A<B이면서 C>D에서 A>B가 되므로 말이 안된다.
-> 확률이 1.0에서 0.25로 주는 것이 0.8에서 0.2로 주는 것보다 더 큰 효과를 가지고 있다: 확신이라는 가치가 주는 가치가 있다. 따라서 risk averse.
- A: (6000,0.45)와 B: (3000,0.9) 중 B를 선택
- C: (6000, 0.001)와 D: (3000, 0.002)중 C를 선택
-> A,B는 이길 가능성이 높지만, C,D는 낮다. 확률이 있어도 가능성 자체가 전체적으로 낮을 경우 사람들은 더 큰 보상을 주는 쪽을 좇는다. 가능성이 높으면 risk aversion, 가능성 자체가 낮으면 risk taking
-> (y,pq)와 (x,p)가 같다면, 사람들은 (x,pr)보다 (y,pqr)을 좇는다. (0<p, q, r<1)
2) The Reflection Effect
* 이 경우를 gain이 아니라 loss로 -를 다 붙이면 사람들은 정반대의 선택을 한다. 이것이 The Reflection Effect.
- gain의 경우 risk aversion인 것이 loss의 경우는 risk seeking으로 바뀐다. -> 이 경우도 certainty에 가치를 두기 때문. 확실히 따는 게 좋고, 확실히 잃는 게 싫다.
- gain과 loss모두 기대효용이론에 위배되는 결과를 보여준다.
- 불확실이나 variance 자체에 대한 aversion이라기 보다는 the certainty effect가 바른 설명이다. 일관적인 설명이다.
<- (4000,0.8)보다 (3000)을 선택하는 게 variance 때문이고, (3000, 0.25)에 비해 (4000,0.2)를 선택하는 것은 variance가 EV의 차이를 극복하지 못했기 때문이라고 말할 수 있지만, loss의 경우에는 이게 들어맞지 않는다. certainty effect를 사용하면 이를 일관성있게 설명할 수 있다.
3) Probabilistic Insurance
* Concavity of the utility function for money: 많은 돈을 들여서 적은 utility를 보상받으려 하는 경향
* deductible: 사고시 본인이 부담해야하는 비용 (그 이상의 차액을 보험사에서 부담) * 사람들은 maximal coverage with higher deductible보다 limited coverage with low or zero deductible을 선호한다 -> risk aversion과 모순(다른 예임)
* Problem 9: 화재보험을 들려고 봤는데 돈이랑 리스크를 봤더니 그게 그거다. 이 때 보험사가 Probabilistic insurance를 제안한다. 일단 보험료를 50%만낸다. 화재발생시 50%의 경우 나머지 보험료 50%를 내고 전부 보상받거나, 50% 경우 보험료를 돌려받고 보상을 받지 못한다. (예를 들어 홀짝날짜로 구분 한다거나) -> 하지 않겠다는 대답이 80%.
- probabilistic insurance는 피해 가능성을 줄이기 위한 비용지불을 보여준다. 타이어 교체, 알람설치, 금연 등.
- 대부분의 probabilstic insurance는 인기가없다. loss의 확률을 p에서 p/2로 줄이는 건 그 확률을 p/2에서 0으로 줄이는 것보다 가치가 없다.
* 반면에, 기대효용이론은 probabilistic insurance가 일반 보험보다 가치가 높다고 말한다. u가 concave라서.
-> 자산: w, 보험료: y, 피해가능성: p, 피해정도: x
-> 보험료가 ry로 줄고, p가 (1-r)p로 준다면, utility가 money에 대해 concave하다면, 당연히 이를 선호해야한다. 다시 말해, (w-x,p;w,1-p)와 (w-y)의 선호가 같다면, (w-x,(1-r)p;w-y,rp;w-ry,1-p)를 (w-y)에 비해 더 선호해야한다.
--> 식으로 옮기면: 처음 상황은, pu(w-x)+(1-p)u(w)=u(w-y)을 의미. 이럴 경우 (1-r)pu(w-x)+rpu(w-y)+(1-p)u(w-ry)>u(w-y). u(w-x)=0, u(w)=1로 놓는다. 그러면 u(w-y)=1-p가 된다. concave라면, rp(1-p)+(1-p)u(w-ry)>1-p, 즉, u(w-ry)>1-rp어야 한다.
-> risk aversion이라고 말하면서 왜 이론적으로 probabilistic insurance를 선호하는 결과가 나오는가? concave가 아니라는 뜻인가?
* probabilistic insurance와 contingent insurance
4) The Isolation Effect
* 사람들은 Alternvative를 고를 떄 공통점을 무시하고 차이를 고려한다.
* Problem 10: 1단계에서 0.75로 아무것도 없이 게임 끝, 0.25로 다음단계. 2단계에서 (4000, 0.8)과 (3000).
- 다시 말해, 0.25x0.8=0.2, 0.25x1=0.25의 선택. 따라서 (4000,0.2), (3000,0.25)와 같다. 그런데 사람들은 (4000, 0.8)이 아니라 (3000)을 골랐다. (4000, 0.2)와 (3000, 0.25)에서는 (4000,0.2)를 골라놓고. 멍청한 인간들.
- figure: circle은 chance node, square는 decision node.
- Problem 4는 2가지 risky choice 중 선택, 10은 risky와 riskyless choice 선택함. 3000을 확실히 따는 건 10에서는 certainty advantage를 가지고 있다.
-> 결정이론모델은 마지막의 결과와 확률만을 고려한다고 말하는데, 이걸 보면 그렇지 않다.
* 벤처 투자의 경우 두 벤처기업 중 뭘 할까는 4의 경우이다. 한 벤처가 있는데 실패하면 돈 못 받고, 성공할 경우 정해진 돈을 받거나 일정한 확률로 돈을 더 받을 수 있다면 10의 경우.
* The isolation effect: 확실한 조건부 이득이 기대값이 같은 불확실한 이득보다 더 매력적이다.
* Problem 11: 1000을 준다. A: (1000,0.5)와 B: (500) 중 선택. B 선택.
* Problem 12: 2000준다. C: (-1000,0.5)와 D: (-500) 중 선택. C 선택.
-> 그러나 두 경우는 같다. A=(2000,0.5,1000,0.5)=C, B=(1500)=D
* 보너스를 준다는 게 선택지에서 동일했기 때문에 선택에 작용하지 않음.
* 기대효용이론에 따르면 내가 얼마를 가지고 있든지, 1000의 가치는 같아야하는데, 그렇지 않다. 1000을 받는지, 950, 1050을 50%로 받는지는 내가 얼마를 가지고 있는지와 독립이어야 하는데, 그렇지 않다. 다시 말해, 1000을 확실히 받는게 항상 더 선호되어야 하지만, 12에 따르면 더 많은 돈을 가지고 있을 경우에는 그렇지 않다.
-> value와 utility는 최종적으로 얼마를 가지게 되는지가 아니라 wealth의 변화에 의해 결정된다.
3. Theory: Prospect Theory
* 1단계 editing: 가능한 상황에 대한 기본적인 분석, 각 상황을 좀 더 간단하게 만드는 것 / 2단계 evaluation: 간단하게 된 상황을 분석하여 가장 가치가 높은 것을 선택.
* editing phase: 다양한 방법으로 옵션들을 간단하게 조정
- Coding: 사람들은 final state보다는 gain과 loss로 판단. relative to neutral reference point or current asset position. 이는 옵션들의 형태와 사람들의 기대치에 따라 달라질 수 있다.
- Combination: 같은 결과를 더할 수 있다. (200,0.25,200,0.25)를 (200,0.5)로.
- Segregation: risky와 riskyless를 구분. (300,0.8,200,0.2)를 (200)+(100,0.8)로. (-400,0.4,-100,0.6)을 (-100)+(-300,0.4)로.
- Cancellation: 공동의 요소는 cancel. outcom-probability pairs: (200,0.2;100,0.5;-50,0.3)과 (200,0.2;150,0.5;-100,0.3)은 (100,0.5;-50,0.3)과 (150,0.5;-100,0.3)으로 볼 수 있다.
- simplification: 0.49->0.5, 0.001->0
- detection of dominance: dominant한 것만 보고 나머지 무시
-> 이 edit의 과정 때문에 inconsistency가 나타난다.
- V=overall value of an edited prospect
- ^(p)=decision weight, impact of p on the overall value of the prospect.
- v(x)=subjective value of the outcome (gain or loss)
- prospect is regular if it is neither strictly positive nor strictly negative.
* Equation 1: If (x,p;y,q) is a regular prospective, then V(x,p;y,q)=^(p)v(x)+^(q)v(y), where v(0)=0, ^(0)=0, ^(1)=1. V(x,1)=V(x)=v(x)
* Equation 2: If the prospect is positive or negative, it's different: segregated into two components
- riskless component: minimum gain or loss which is certain to be obtained or paid
- risky componenet: additional gain or loss
-> If p+q=1 and either x>y>0 or x<y<0 then
-> V(x,p;y,q)=v(y)+^(p)[v(x)-v(y)] which is riskless component + value-difference between the outcomes x weight associated with the more extreme outcome
-> if ^(p)+^(1-p)=1이면 regular/positive or negative가 식이 같다.
1) The Value Function
* Evaluation of changes or differences
* Value should be treated as a function in two arguments: the asset position that serves as reference point, and the magnitude of the change from that reference point
- Value functions described on different pages not identical: they are likely to become more linear with increases in assets. But the preference order of prospects is not greatly altered by small or even moderate variations in asset position.
-> The certainty equivalent of the prosepct (1000,0.5) lies between 300 and 400 for a wide range of asset positions.
* Psychological response is a concave functino of the magnitude of physical change.
-> easier to discriminate between a change of 3C and a change of 6C in room temperature, than it is to discriminate between a change of 13C and a change of 16C.
-> Thus, the difference in value b/w a gain of 100 and a gain of 200 appears to be greater than the difference in value b/w a gain of 1100 and a gain of 1200.
-> Thus, the value function for changes of wealth is normally concave above the reference point and often convex below it.
-> marginal value of both gains and losses generally decreases with their magnitude.
* Problem 13: (6000,0.25) or (4000,0.25;2,000,0.25)*
* Problem 13': (-6000,0.25)* or (-4000,0.25;-2000,0.25)
-> Eq1: ^(0.25)v(6000)<^(0.25)[v(4000)+v(2000)] and ^(0.25)v(-6000)>^(0.25)[v(-4000)+v(-2000)] -> v(6000)<v(4000)+v(2000) and v(-6000)>v(-4000)+v(-2000) -> concave for gains, convex for loss
* The effect of special circumstances on preferences. eg) the utility function of an individual who needs 60000 to buy a house may reveal an exceptionally steep rise near the critical value. -> convex region for gain, concave for loss
* loss loom larger than gains -> (x,0.5;-x,0.5)는 안한다, x>y>0이면, (x,0.5;-x,0.5)보다 (y,0.5,-y,0.5)를 좋아한다.
-> v(y)+v(-y)>v(x)+v(-x) and v(-y)-v(-x)>v(x)-v(y), v(x)<-v(-x)
* The Value Function: i) defined on deviations from the reference point; ii) generally concave for gains and commonly convex for losses; iii) steeper for losses than for gains
2) The Weighting Function
* value of outcome x decision weight
* Decision weights are inferred from choices between prospects much as subjective probabilities are inferred from prefrences in the Ramsey-Savage approach.
- However, it's not probability.
* ^(0.5) is likely to be smaller than 0.5. ^(p)=p if the expectation principle holds, but not otherwise.
* ^ increasing function of p, with ^(0)=0 and ^(1)=1.
* Problem 8에서, ^(0.001)/^(0.002)>v(3000)/v(6000)>1/2 and subadditivity: ^(rp)>r^(p)
- subadditivity need not hold for large values of p
* Problem 14: (5000,0.001) > (5) -> lottery
* Problem 14': (-5000,0.001) < (-5) -> insurance
- very low probabilities are generally overweighted, ^(p)>p
- ^(0.001)v(5000)>v(5) -> ^(0.001)>v(5)/v(5000)>0.001
* Overweighting is not overestimation. They know stated p in overweighting.
* Property subcertainity: ^(p)+^(1-p)<1.
* Problem 1에서, v(2400)>^(0.66)v(2400)+^(0.33)v(2500)
-> [1-^(0.66)]v(2400)>^(0.33)v(2500) and ^(0.33)v(2500)>^(0.34)v(2500) [problem 2]
-> 1-^(0.66)>^(0.34) or ^(0.66)+^(0.34)<1
* Slope of ^ = sensitivity of preferences to changes in probability
-> ^ is less sensitive to variations of probability thatn the expectation principle would dictate.
* ^(p)v(x)=^(pq)v(y) -> ^(pr)v(x)<=^(pqr)v(y) hence, ^(pq)/^(p)<=^(pqr)/^(pr)
- subproportionality: the ratio of the corresponding decision weights is closer to unity when the probabilities are low
* (x,p;,x,q)와 (x,p';x,q'), p+q=p'+q'<1 이면 성립 안하지 않나? 같은 값이면 더하기 때문에 가능.
* x>y>0, p>p' and p+q=p'+q'<1이면 (x,p;y,q)>(x,p';y,q') 어쩌구저쩌구
한 과학자가 99%의 정확도를 가진 에이즈 테스트 시약을 개발했다. 그는 시약을 가지고 나가서 거리에서 아무 사람이나 붙잡고 바로 에이즈 테스트를 해봤다. 결과는 양성. 그렇다면 그 사람이 실제로 에이즈를 가지고 있을 확률은 얼마인가?
99%?
아니다. 그 확률은 전체 인구에서 실제로 에이즈를 가지고 있는 사람의 비율이 얼마나 되느냐에 따라 훨씬 더 낮아진다.
예를 들어, 전체 인구에서 에이즈 보유자의 비율이 1000명 중 한 명, 즉 1/1000이라고 가정해보자. 인구 100,000명을 대상으로 에이즈 시약 테스트를 했을 경우, 그 결과는 다음과 같다:
양성 반응
음성 반응
에이즈 보유자
(A)
100명 X 99% = 99명
(B)
100명 X 1% = 1명
에이즈 미보유자
(C)
99,900명 X 1% = 999명
(D)
99,900명 X 99% = 98,901명
10만명을 테스트 했을 경우 양성 반응이 나오는 사람은 모두 1,098명(A+C)이다. 양성 반응이 나온 사람들 중에서 실제로 에이즈를 가지고 있는 사람은 99명(A)뿐이다. 따라서 양성 반응이 나왔을 때, 그 사람이 실제로 에이즈 보유자일 확률은 99%가 아니라 99/1098(A/A+C), 즉 9%에 불과하다. 반대로 시약 테스트의 오류로 에이즈가 없음에도 양성 반응이 나올 확률은 91%에 다다른다.
시약의 정확도는 99%인데, 어떻게 그 시약으로 양성 반응 나온 사람이 실제 에이즈 보유자일 확률은 9%에 불과한가?
그것은 "양성 반응 나온 사람이 실제 에이즈 보유자일 확률"이 조건부 확률(conditional probability)이기 때문이다. 여기서 조건부 확률이란 "양성 반응이 나왔다"는 것을 조건 혹은 전제로 한 확률이라는 말이다. 100,000명 중 시약이 에이즈 보유 여부를 제대로 판명한 사람은 99,000명(A+D)으로 99%의 정확도를 자랑하지만, 조건부 확률은 오로지 양성 반응이 나온 사람들을 대상으로 계산을 하기 때문에 그보다 훨씬 작은 정확도를 가지게 된다.
자꾸 숫자가 나와서 머리가 아플 수 있으므로 조금 시각을 바꿔서 설명해보자. 양성 반응이 나온 원인은 둘 중 하나다: 1) 에이즈 보유자이기 때문, 2) 시약 테스트에서 오류가 났기 때문. 양성 반응이라는 결과를 놓고 그 원인을 파악하기 위해서는 1)과 2)중에 어느 설명이 더 가능성이 높은지를 따져봐야 한다. 시약의 정확도가 99%이기 때문에 2)일 확률은 충분히 낮은 확률이지만, 1)일 확률은 훨씬 더 낮기 때문에, 결과적으로 시약 테스트 오류의 가능성이 훨씬 높게 나온다.
위 문제를 풀어봐서 알겠듯이, 조건부 확률은 매우 착각하기 쉬운 개념이다. 그건 인간이 원인을 근거로 결과를 예측하는 데 익숙한 반면에, 결과를 근거로 원인을 추정하는 데 취약한 사고과정을 지니고 있기 때문이다. 실제로 조건부 확률은 실제로 일상생활에서 많은 착각을 불러일으킨다.
본인은 천안함 사건에 있어 야당과 많은 야당 지지자들이 조건부 확률의 늪에 빠졌다고 본다.
2. 천안함과 조건부 확률
몇몇 야당 인사들과 상당수의 야당 지지자들은 천안함이 북한의 어뢰 공격으로 침몰했다는 정부의 발표를 믿지 못하고 있다. 이들이 내세우는 건 어뢰 공격으로 보기 어렵게 만드는 의문들이다. 제기되는 대표적인 의문으로 물기둥이 없었다, 물고기 떼죽음이 나타나지 않았다, 부상자가 없다, 당시 서해에서는 한미합동훈련을 하고 있었다는 것 등이 있다. 뭐, 다 제기할 수 있는 의문이다.
보자. 이미 제기된 의문들을 포함하여 북한 잠수정이 내려와서 함정을 두 쪽내고 흔적도 없이 되돌아갔다는 상황 자체는 상당히 일어날 가능성이 낮고 믿기 어려운 시나리오다. 그러나 가능성이 낮다는 사실이 "천안함이 북한 어뢰로 침몰되지 않았다"로 곧바로 이어지지는 않는다. 왜냐? 이미 천안함은 침몰했기 때문이다.
우리가 고려해야 할 확률은 "북한 잠수정이 내려와서 함정을 두 쪽내고 흔적도 없이 되돌아갈 확률"이 아니라, "함정이 침몰했을 경우, 그 원인이 북한의 공격일 확률"이다. 이게 무슨 말장난이냐고 반문할 지도 모르겠지만, 다시 에이즈 시약의 예로 돌아가서 곰곰이 생각해보자. 에이즈 시약이 오류를 낼 확률은 1%에 불과하지만, 양성 반응이 나왔을 경우에 그게 오류일 확률은 91%다. 마찬가지로 "북한 잠수정이 내려와서 함정을 두 쪽내고 흔적도 없이 되돌아갈 확률"은 그런 시나리오를 믿기 어려울 정도로 낮지만, "함정이 침몰했을 경우, 그 원인이 북한의 공격일 확률"은 꽤나 높다. 그리고 그 높은 정도는 침몰을 설명할 수 있는 다른 원인이 얼마나 가능성이 높은가에 달려있다. 즉, 어뢰설의 가능성은 그 자체의 확률이 아니라 다른 가능한 원인과의 비교에 의해 결정된다.
지금까지 상당수의 사람들이 북한의 어뢰 공격이 어렵다는 사실만 고려함으로써 어뢰설을 공공연히 소설에 가까운 시나리오로 규정해왔다. 아직까지도 그렇게 생각하는 사람들도 꽤나 있다. 이들은, 조건부 확률의 함정에 빠진 것이다.
이런 상황에서, 합조단은 어뢰설을 뒷받침 할 만한 나름대로의 물증을 제시했다. 물론 여전히 의문들은 남아 있고, '1번'글씨 드립이 코믹하기는 하지만, 다른 가능성있는 원인으로 제시되고 있는 좌초설에 비해 어뢰설의 가능성이 훨씬 더 높아진 것은 사실이다. 어뢰설에 가장 회의적 입장을 견지하고 있던 스웨덴 조사단이 이번 증거를 보고 어뢰설로 결론을 내렸다는 점도 이를 뒷받침 한다.
이 지점에서 천안함의 딜레마가 시작된다.
3. 천안함의 딜레마
가카는 천안함을 정치적으로 이용하기로 아주 제대로 마음을 먹은 것으로 보인다. 5월 20일 합조단 조사 발표와 생뚱맞게 전쟁기념관에서 발표한 24일 가카의 대국민 담화로 23일의 노무현 대통령 서거 1주기를 샌드위치 시킨 것은 다분히 정치적 의도가 깔려 있다.
문제는 조건부 확률의 함정에 빠졌었기 때문에 야당의 스탠스가 상당히 어정쩡해졌다는 점이다. 지금와서 어뢰설을 선뜻 인정하자니 그 동안 어뢰설에 대해 비판적인 입장을 취했던 게 우습게 되어버리고, 선거 국면에서 가카와 보조를 맞추기도 껄끄러운 상황이다. 그렇다고 어뢰설을 계속 부정하고 의혹을 제기하자니 어뢰설의 가능성이 급격히 높아진 상황이 부담스럽고, 어뢰설에 무게를 두고 있는 사람들의 표를 잃을까 걱정이다. 그래서 고작 한다는 얘기가, "어뢰가 맞는 것 같긴 한데, 여전히 의혹은 있고, 만약 맞으면 가카 책임이다" 정도다. 그래서 어뢰라는 건지 좌초라는 건지 가카 책임이라는 건지 북한도 비판받아 마땅하다는 건지 도무지 알기가 어렵다. 야당이 천안함의 딜레마에 빠져 허우적대는 동안, 선거는 1주일 밖에 안 남았고, 천안함에 휩쓸린 수도권에서는 다른 이슈들이 힘도 못 써본 채 여당 후보와의 차이가 벌어지고 있다.
그러니까 애초에 신중한 접근을 취했어야 했다. 정부의 대응방식이나 정보공개에 대해 비판하면서, 북한의 공격 가능성도 충분히 고려했어야 했다. 그리고 나서 어뢰설의 가능성이 높아졌을 때, 재빨리 입장을 정리하여 북한에 1차적인 책임을 묻는 동시에 위험이 상존하는 군사분쟁지역에서 멍청하게 당하고 범인 흔적도 못 찾은 가카의 무능함을 물었어야 했다. 또한 이러한 위기의 근본적인 원인인 가카의 개념없는 대북정책을 비판하며, 야당만의 명확한 대북정책을 제시했어야 했다. 그러나 그러기엔 조건부 확률의 함정에 너무 깊게 빠졌다.
그러나 지금이라도 그렇게 늦지 않았다. 야당은 일단 선거의 최고 쟁점으로 떠올라 버린 천안함 사건에 대해 지금이라도 명확하게 입장을 정리해야한다. 계속 어정쩡한 스탠스를 취하면 가카의 북풍놀이에 제대로 된 대응을 하지 못한 채 놀아날 수 밖에 없다. 1) 천안함이 어뢰에 의해 침몰했을 가능성이 높다는 걸 산뜻하게 인정하고, 2) 1차적으로 북한의 책임있는 사과를 요청하며, 3) 동시에 가카의 안보무능을 날카롭게 후벼파야 한다. 요즘에 3)번만 어떻게 해보려고 하는 기미가 보이는데, 그런 대응은 국민들에게 안보문제를 지나치게 정치적으로 접근한다는 인상을 강하게 준다. 늦었지만, 1), 2)번으로 입장을 정리하고 3)번에 돌입하는 게 더 이상의 피해 확산을 막고 카운터 어택을 날릴 수 있는 최선의 길이다.
불편하다고 어물쩡 넘어가기엔 너무 선거가 코 앞이다.
ps) 추가: 방금 북한이 가카랑은 다시는 대화 안한다는 성명을 발표했다. 10년간의 모든 노력과 돈과 시간과 신뢰가 한 순간에
날아가는 느낌이다. "파탄적 대북관계"라는 키워드로 민주-진보세력의 결집을 시도할 수 있는 선거 전 마지막 이슈다.
